Sous-tangente à la courbe de la fonction exponentielle

Soit  \(f\) une fonction définie, strictement positive et dérivable sur un intervalle \(\text{I}\) . Dans cet exercice nous ajoutons l'hypothèse que \(f\) est strictement croissante sur \(\text{I}\) .

Le plan est muni d'un repère orthogonal. Soit \(T\) la tangente au point \(\text{A}\) à la courbe représentative de \(f\) . Soit \(\text{B}\) le point d'intersection entre la tangente \(T\) et l'axe des abscisses. Enfin, soit \(\text{H}\) le projeté orthogonal de \(\text{A}\) sur l'axe des abscisses.

On appelle sous-tangente à la courbe représentative de la fonction \(f\) le segment \([\text{BH}]\) .

L'objectif de cet exercice est d'étudier la sous-tangente de la fonction exponentielle.

Partie A - Conjecture

Dans le fichier de géométrie dynamique, on a représenté, en vert, la courbe représentative de la fonction exponentielle et, en bleu, la tangente \(T\) à la courbe au point \(\text{A}\) . La sous-tangente est le segment coloré en rouge.
1. En déplaçant le point \(\text A\) sur la courbe de la fonction exponentielle, conjecturer une propriété de la sous-tangente à cette courbe.
2. Quelle semble être la longueur \(\text{BH}\) ?

Partie B - Un cas particulier

1. Soit \(\text{A}(1;\text e)\) . Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point \(\text{A}\) .
2. Donner les coordonnées de \(\text H\) puis calculer les coordonnées de \(\text B\) .
3. Calculer la longueur du segment \([\text{BH}]\) .

Partie C - cas général

Soit \(a\) l'abscisse de \(\text{A}\) . En suivant le déroulé proposé dans la partie B, démontrer que, quel que soit le réel \(a\) , \([\text{BH}]=1\) .

Histoire des mathématiques

En 1638, le mathématicien amateur Florimond de Beaune pose le problème suivant à Descartes : « Trouver une courbe dont la sous-tangente est constante en tout point. » Le problème que nous venons de traiter montre une solution particulière à ce problème.